I.25. Soluţie:
Dacă sistemul de ecuaţii (I.25.1) admite o
soluţie 
,
atunci din identitatea (I.24.8) se obţine:
|
|
(I.25.2) |
Se notează:
|
|
(I.25.3) |
determinant care poate fi calculat funcţie de datele problemei.
Funcţie de semnul lui 
sunt posibile următoarele
cazuri:
Cazul I: Dacă 
, atunci sistemul de ecuaţii
(I.25.1) nu admite soluţii.
Cazul II: Dacă 
, atunci din relaţiile (I.25.2)
şi (I.25.3) rezultă:
|
|
(I.25.4) |
Se obţine în continuare că vectorul 
satisface sistemul de
ecuaţii vectoriale:
|
|
(I.25.5) |
sistem de forma (I.13.1). Deoarece:
|
|
(I.25.6) |
sistemul de ecuaţii (I.25.5) admite soluţie unică de forma (I.13.14):
|
|
|
|
|
(I.25.7) |
Cazul III: Dacă 
, atunci din (I.25.2) şi
(I.25.3) avem:
|
|
(I.25.8) |
sau:
|
|
(I.25.9) |
Din (I.25.1) şi (I.25.8) sau (I.25.9) rezultă că
vectorul satisface
unul dintre sistemele de ecuaţii:
|
|
(I.25.10) |
respectiv:
|
|
(I.25.11) |
Ambele sisteme de ecuaţii vectoriale de mai sus au forma (I.13.1). Cu observaţia (I.25.6) rezultă că fiecare din aceste sisteme admite soluţie unică
|
|
(I.25.12) |
respectiv:
|
|
(I.25.13) |
Concluzii:
- dacă
- sistemul
de ecuaţii vectoriale (I.25.1) nu admite soluţie;
- dacă
- sistemul
de ecuaţii vectoriale (I.25.1) admite soluţia unică:
|
|
(I.25.14) |
- dacă
- sistemul
de ecuaţii vectoriale (I.25.1) admite două soluţii:
|
|
(I.25.15) |
|
|
(I.25.16) |
Se observă că soluţia (I.25.14)
se poate obţine din (I.25.15) sau (I.25.16) pentru .
Interpretare geometrică:
Relaţiile (I.25.1)1 şi (I.25.1)2
reprezintă ecuaţiile vectoriale a două plane notate 
, respectiv 
(figura I.44).
 |
Figura I.44.
Planul este ortogonal pe vectorul 
şi trece prin punctul A
extremitate a vectorului legat 
. Planul este ortogonal pe vectorul 
şi trece prin punctul B
extremitate a vectorului legat 
. Deoarece, prin ipoteză, vectorii şi sunt necoliniari (
), planele şi se intersectează după o dreaptă
D. Dreapta D este ortogonală pe
vectorii şi , deci are direcţia
vectorului 
.
Ecuaţia planului 
care trece prin punctul O şi este
determinat de vectorii şi este de forma (I.11.12):
|
|
(I.25.17) |
Intersecţia planelor , şi este un punct 
care se află pe dreapta D deoarece: 
. Acest punct este
extremitatea vectorului 
soluţie a sistemului de ecuaţii
vectoriale:
|
|
(I.25.18) |
care admite soluţia unică (I.25.7). Se obţine astfel:
|
|
(I.25.19) |
Deoarece dreapta D trece prin punctul şi are direcţia vectorului , ecuaţia vectorială a
dreptei D este dată
de:
|
|
(I.25.20) |
Cu expresia (I.25.19), relaţia (I.25.20) devine:
|
|
(I.25.21) |
Din (I.25.19) rezultă că 
, deci reprezintă punctul de pe
dreapta D situat la
distanţă minimă de punctul O, distanţă pe care o notăm cu d:
|
|
(I.25.22) |
Ecuaţia (I.25.1)3 reprezintă o sferă S cu centrul în punctul O
şi rază 
(figura
I.45).
 |
Figura I.45.
Dacă sistemul de ecuaţii (I.25.1) admite
vectorul 
ca
soluţie, atunci extremitatea acestui vector este punctul de intersecţie dintre
dreapta D şi sfera S. Intersecţia D Ç S
este nevidă numai în cazul în care distanţa d de la punctul O la
dreapta D este mai
mică decât g, raza sferei S.
Considerăm P un punct situat pe sfera S . Dacă 
, atunci vectorul 
satisface sistemul de
ecuaţii (I.25.1) şi există relaţia:
|
|
(I.25.23) |
unde prD reprezintă proiecţia
ortogonală a vectorului pe dreapta D şi:
|
|
(I.25.24) |
Din (I.25.23) şi (I.25.24) rezultă:
|
|
(I.25.25) |
Deoarece satisface sistemul de ecuaţii (I.25.1),
utilizând relaţia (I.24.1) se obţine:
|
|
(I.25.26) |
Din relaţiile (I.25.10) şi (I.25.11) avem:
|
|
(I.25.27) |
ţinând cont de relaţia (I.25.27) rezultă că sunt posibile următoarele cazuri:
- dacă
, atunci 
, deci dreapta D este exterioară sferei S;
- dacă
, atunci 
, dreapta D este tangentă sferei S;
- dacă
, atunci 
, dreapta D intersectează sfera S în două puncte.
Observaţii:
1º.
Sistemul de ecuaţii (I.25.1) poate fi
studiat şi pornind de la expresia (I.25.19)
a vectorului 
.
ţinând cont că vectorii 
şi 
sunt perpendiculari, distanţa de la la O este dată de:
|
|
|
|
|
(I.25.28) |
Condiţia de compatibilitate a sistemului de ecuaţii (I.25.1) este:
|
|
|
|
|
(I.25.29) |
Expresia din membrul stâng al relaţiei (I.25.29) reprezintă
tocmai . Deci condiţia (I.25.29) este echivalentă
cu .
 |
  |