Lecţia 1

Teorema 2 mai poate fi formulată şi în modul următor: orice vector nenul din generează întreg spaţiul vectorial .

De asemenea are loc implicaţia:

(I.A.11)

Se spune că vectorul este liniar independent. Astfel mulţimea , , , este liniar independentă şi generează subspaţiul liniar . Ea se numeşte bază în . Cum subspaţiul liniar admite o bază formată dintr-un singur vector, se spune că este un subspaţiu liniar de dimensiune 1 peste corpul numerelor reale şi se scrie:

(I.A.12)

Subspaţiul liniar se numeşte dreaptă vectorială.

1.2.3.2. Planul vectorial în

Fie un plan ce trece prin punctul şi submulţimea lui :

(I.A.13)

Mulţimea este formată din vectorii legaţi în O ale căror drepte suport sunt conţinute în planul (figura I.5).

Evident, , deci, în conformitate cu Teorema 1, este un subspaţiu liniar propriu al lui .

Figura I.5.

Teorema 3:

Fie , . Oricare ar fi există astfel încât:

(I.A.14)

Demonstraţie:

Fie şi dreptele suport ale vectorilor legaţi , respectiv (figura I.6). Avem şi .

Figura I.6.

Notăm şi fie punctele . se află la intersecţia dreptei suport cu paralela dusă prin A la dreapta . Analog, punctul este intersecţia dintre dreapta şi paralela prin A la dreapta . Deoarece patrulaterul este paralelogram, rezultă:

(I.A.15)

Pe dreptele vectoriale şi avem, în conformitate cu Teorema 2:

	(I.A.16)
	(I.A.17)

Din relaţiile (I.A.15), (I.A.16) şi (I.A.17) rezultă (I.A.14). ♦

Relaţia (I.A.14) demonstrează că vectorii şi generează subspaţiul liniar .

Teorema 4:

Fie , . Are loc implicaţia:

(I.A.18)

Demonstraţie:

Presupunem, de exemplu, . Din (I.A.18) rezultă:

(I.A.19)

Relaţia (I.A.19) contrazice ipoteza . Analog rezultă . ♦

Teorema 4 ne asigură că doi vectori şi , , sunt liniar independenţi.

Mulţimea , cu , , este formată din vectori legaţi din liniar independenţi care generează subspaţiul liniar . Mulţimea se numeşte bază în . Cum subspaţiul liniar admite o bază formată din doi vectori, se spune că este un subspaţiu liniar de dimensiune 2 peste corpul numerelor reale şi se scrie:

(I.A.20)

Subspaţiul liniar se numeşte plan vectorial.

Observaţii:

1º. Folosind Teorema 4 se demonstrează cu uşurinţă că scrierea (I.A.14) din Teorema 2 este unică. Numerele reale unic determinate din relaţia (I.A.14) se numesc componentele vectorului în baza . O bază în planul vectorial poate fi formată din oricare doi vectori necoliniari din .

2º. Fie un plan ce trece prin punctul şi , două drepte distincte conţinute în planul concurente în punctul O. Considerăm planul vectorial şi dreptele vectoriale , respectiv. Teorema 3 şi observaţia anterioară ne asigură că există unic determinaţi vectorii şi astfel încât:

(I.A.21)

Deoarece se spune că planul vectorial este suma directă a dreptelor vectoriale şi şi se scrie:

(I.A.22)

1.2.4. Baze în spaţiul liniar al vectorilor legaţi în O

După metodologia folosită în cazul subspaţiilor vectoriale proprii definite anterior vom căuta în un sistem de vectori care să fie liniar independenţi şi să genereze spaţiul liniar .

Fie trei vectori legaţi nenuli din ale căror drepte suport, notate , şi , sunt necoplanare. În acest caz vectorii , se numesc necoplanari (figura I.7).

Figura I.7.

Teorema 5:

Fie trei vectori necoplanari. Oricare ar fi există astfel încât:

(I.A.23)

Demonstraţie:

Dacă se observă că relaţia (I.A.23) este satisfăcută cu . În continuare presupunem, (figura I.8).

Figura I.8.

Fie planul determinat de dreptele concurente distincte şi . Notăm cu punctul de intersecţie al planului cu paralela dusă prin punctul A la dreapta . Notăm cu A₃ punctul de intersecţie al dreptei cu paralela dusă prin punctul A la dreapta . În planul determinat de dreptele paralele şi avem: